Полет NASA на Луну. Был или не был? Технический разбор полетов кораблей «Аполлон». Часть 3

          Мы приступаем к самой сложной части - проверкам ТТХ "Аполлонов" и их полетов. Зранее прошу прощения за используемый математический аппарат. Но без него не обойтись.

                                             "ЛОХОТРОН"

И так, дорогие читатели, в прошлой части мы с Вами узнали о том, как не хорошо воровать водород у американского народа. Некоторые мои критики утверждают, что указанную недостачу, оказывается, покрывает чугунная болванка, прикрученная в качестве балласта к кораблю Аполлон-8. Такое техническое решение потрясает своей простотой и изяществом, ибо ничто не может быть так изящно, как цельный кусок металла. Если Вам когда-нибудь надо будет отгрузить чугун, но не в Воронеж, а скажем на Луну, можете себя не утруждать поисками подходящего экспедитора – всем известно, что лучший поставщик чугуна на Луну – это фирма НАСА. Реквизиты станции-получателя отправляйте по факсу в Хьюстон.

На самом деле, мои придирки к полету корабля Аполлон-8 носили, в сущности, мелочный характер. Какая, в сущности, разница: было ли украдено 22 тонн топлива, а может только 15 или вовсе 7. В конце концов, на любой нефтебазе Вам расскажут, как украсть бензин цистернами, а по сему американские шалости с бухгалтерией и статистикой выглядят вполне невинно. Все свои изыскания я проделал с единственной целью: показать насколько наш «подследственный» глупо врет и путается в деталях.

Наглядный пример – при одинаковом импульсе, выданном двигателем третей ступени в сумме двух включений, в первом случае Аполлон–4 увеличил апогей орбиты всего лишь до 17400 км, а во втором случае Аполлон-8 совершил облет Луны с теми же данными.

Любознательный читатель без труда поймет, что разница приращения скорости в этих маневрах полтора раза: ~2000м/с и ~3000м/с.

                                                  Состав ракеты Сатурн-V

(первая) ступень S-1C

(вторая) ступень S-II

(третья) ступень S-IVB

В следственных делах есть классическая фраза: в показаниях «подследственного» наметились противоречия, поэтому назначаем очную ставку. Далее мы сделаем виртуальную очную ставку между двумя хорошо описанными, а потому хорошо документированными событиями – запуск корабля Аполлон–12 на Луну и вывод на орбиту ИСЗ космической станции «Скайлеб».  

Ракетно-космическая система «Сатурн-5-Аполлон»:

а) структура системы в целом, 

б) компоновка корабля «Аполлон». 

S-IC - первая ступень, S-II - вторая ступень, S-IVB - третья ступень; 1 - бак горючего первой ступени, 2 - бак окислителя первой ступени, 3 - переходник между первой и второй ступенями, 4 - бак окислителя второй ступени, 5 - бак горючего, 6 - переходник между второй и третьей ступенями, 7 - бак окислителя третьей ступени, 8 - бак горючего третьей ступени, 9 - приборный отсек IU, 10 - лунный отсек, 11 - переходник LMA, 12 - служебный отсек, 13 - командный отсек, 14 - система аварийного спасения (САС), 15 - маршевый двигатель служебного отсека, 16 - блоки двигателей системы ориентации и стабилизации, 17 - теплозащитный экран, 18 - ферма САС, 19 - основной РДТТ САС, 20 - РДТТ для отбрасывания САС, 21 - вспомогательный РДТТ, 22 - аэродинамические рули САС.

Для понимания всего дальнейшего, нам понадобится следующий математический аппарат.

Во-первых, формула Циолковского:

ΔV=Iуд×Ln(Z);

где V – характеристическая скорость, I – удельный импульс двигателя, Z – отношение масс вначале и в конце работы двигателя.

Во вторых, согласно методу характеристических скоростей для определения конечной скорости активного участка выведения существует следующее уравнение:

Vк=∑(Vxi) –Vпотерь+Vземля=∑(Ii*Ln(Zi)) –Vпотерь+Vземля;

Смысл этого равенства звучит так: конечная скорость Vк активного участка полета ракеты равна сумме характеристических скоростей всех ступеней минус константа (суммарный интеграл потерь скорости) + прибавка за счет вращения Земли. Интеграл потерь скорости на всем отрезке от 0 до Т есть некое конкретное число, грубо говоря, постоянное для данного типа ракеты.

Этот вывод мы можем получить следующим образом. Для скоростной системы координат запишем дифференциальное уравнение -

m(dV/dt)=P*cosα – mg*sinβ – X

dV=[(P/m)*cosα – g*sinβ – X/m]dt

здесь

Р – тяга ЖРД

Х – сопротивление воздуха

α – угол между вектором тяги Р и вектором скорости V

β – угол вектора скорости к местному горизонту

расход топлива dm/dt=–L  (масса убывает)

кроме того, P(h)=Pп – p(h)Sa = Pп (1- ph*γ) - высотная зависимость тяги от давления воздуха на данной высоте.

здесь ph=p(h)/po  и  γ= (Pп – Po) /Po

тогда

dV=( Pп/m – (Pп/m)*(1– cosα) – ph*γ*cosα * Pп/m – g* sinβ – X/m)dt

Начальные условия задачи V=0; H=0; m=M1

Конечные условия V=Vк; H=Hк; m=M2

Интегрируем по частям:

∫ (Pп /m)dt = – ∫ (Pп /mL)dm = (Pп /L)*Ln(M1/M2)= U*Ln(z) = Vхар

это идеальная (характеристическая) скорость ракеты; U= Pп/L – удельный импульс в пустоте

z – отношение масс в начале и конце работы ЖРД

Суммарный интеграл потерь включает в себя четыре члена:

∫ (Pп/m)(1- cosα)dt = Vхар*(1- cosα )сред            потери на управление

∫ (ph*γ*cosα * Pп/m)dt = Vхар* (ph*γ)сред             потери на «высотность» ЖРД

∫ (g*sinβ)dt = T*(g*sinβ)сред                                          потери гравитационные, здесь Т – время полета

∫ (X/m)dt                                                              потери на сопротивление воздуха.

ИТОГО

Vк=Vхар – Vупр – Vду – Vграв – Vаэро

Данный вывод мы получили для случая одноступенчатой ракеты. 

Он легко обобщается на многоступенчатую ракету следующим образом:

Vк=∑Vхар – ∑Vупр – ∑Vду  – ∑Vграв – ∑Vаэро 

Vк'= Vк + Vземля   конечная скорость с учетом вращения Земли.

Ну а теперь сам запуск АПОЛЛОН–12.

Я сейчас в руках держу документ. Здесь написано: «весовая сводка Сатурн–5 Аполлон–12 (в кг)». Источник информации (1) файл в каталоге 4-12. Здесь описана вся короткая жизнь изделия Сатурн–5 с момента команды «зажигания» а ж до отделения корабля от носителя. В конце написана магическая фраза: «эти данные могут использоваться при всех анализах весов Сатурн–5». Раз написано ВСЕХ, то мы именно так и сделаем. (Данные в таблице округлены до целых кг.)

Весовая сводка Saturn V Apollо-12 (кг) Этапы полета Изменение веса    Вес аппарата В момент зажигания ЖРД   2 944 017 Расход топлива для выхода на полную тягу 38 735   В момент начала движения   2 905 282 S-IC, обледенение 297   S-IC, продувка азотом 16   S-II, обледенение 204   S-II, продувка теплоизолирующнм газом 54   S-IVB, обледенение 91   Центральный ЖРД, расход топлива на спад тяги 784   Центральный ЖРД, потери топлива 186   S-IC, использованное топливо 2 075 779   Периферийные ЖРД, расход топлива на спад тяги 3 136   S-IC, сбрасываемой ступени 165 013   S-IC/S-II, малый переходник 614   S-II, расход на осадку топлива 34   В момент сброса ступени S-IC   659 075 S-II, расход топлива для выхода на полную тягу 602   S-II, стартовый бак 11   S-II, расход на осадку топлива 586   S-II, основное топливо и потери на вентиляцию 437 462   Сброс системы аварийного спасения 4 040   S-II, нижний переходник 3 972   S-II, расход топлива на спад тяги 220   S-II, вес сбрасываемой ступени 42 876   S-II/S-IVB, переходник 3 650   S-IVB, сброс нижней рамы 22   S-IVB, детонационный пакет 1   S-IVB, расход на осадку топлива 3   В момент разделения S-II/S-IVB   165 633 S-IV, расход на осадку топлива 40   В момент зажигания ЖРД S-IVB   165 592 S-IVB, расход на осадку топлива 10   S-IVB, водород в стартовом баке 2   Расход топлива для выхода на полную тягу 156   S-IVB, использованное топливо 29 092   S-IVB, сброс блоков ЖРД осадки топлива 61   S-IVB, расход топлива вспомогательного ЖРД 1   В момент сигнала на выключение ЖРД S-IVB   136 270 Расход топлива на спад тяги 44   Расход топлива вспомогательного ЖРД (осадка) 3   Потери топлива через ЖРД 18   Вентиляция бака жидкого О2 4   В момент выхода на орбиту ожидания   136 201 Вентиляция бака горючего Н2 1 119   Расход топлива вспомогательного ЖРД 99   Водород в стартовом баке 1   Н2/О2 воспламенитель 7   Вентиляция бака окислителя S-IVB, потери топлива 7   В момент второго зажигания ЖРД S-IVB   134 968 S-IVB, Н2 в стартовом баке 2   Расход топлива для выхода на полную тягу 137   S-IVB, использованное топливо 71 768   В момент сигнала на выключение S-IVB   63 063 Расход топлива на спад тяги 44   Потери топлива через ЖРД 18   Вентиляция бака H2 9   Вентиляция бака О2 и гелиевого бака 14   В момент выхода на траекторию полета к Луне   62 972       Основной блок 28 803   Лунный корабль с переходником 15 740   Переходник 1 171   Вспомогательный ЖРД 35   Вентиляция бака горючего 374   Вентиляция бака окислителя 65   Сброс из системы поддува 429         Суммарный вес корабля Apollo-12 46 617   Вес ступени S-IVB после отделения корабля Apollo-12   16 354

На фото: РН "Сатурн-5" на пусковом столе.

Для начала найдем суммарную идеальную скорость всех ступеней Сатурн-5

Масса в момент отрыва от стола ≈2905,3т. Расход топлива включая период падения тяги ≈2080,0т; тогда Z1= 2905,3/(2905,3-2080,0)=3,52; при I=2982м/с Vx1=I*Ln(Z1) ≈3753м/с; остаточная масса ступени с остатками топлива Мк1≈165т.

Вскоре после разделения ступеней, идет отделение всякого гамуза: САС ≈4т и переходника между ступенями весом 3972кг+614кг+34кг+11кг+586кг≈5,2т. Для упрощения расчетов будем считать, что все эти разделения происходят одновременно. Так как эти 9,2т сбрасываются почти сразу после разделения, то их влияние на дальнейший полет минимально По существу их можно методически добавить к Мк1 ≈174,2т.

Фактически расход топлива через двигатели второй ступени ≈438,3т; остаточная масса ступени с недобором топлива и переходником Мк2 ≈46,6т; с учетом массы третьей ступени с кораблем Аполлон в момент разделения ~165,6т имеем общую массу в начале работы второй ступени ≈650,5т. тогда Z2=650,5/(650,5-438,3)≈3,065 Vx2 ≈4668м/с при I=4168м/с (отношение компонентов 5,5:1) 

Масса комплекса перед первым включением третей ступени = 165,6 тонн; расход через двигатель фактически 29,3т. топлива при первом импульсе третьей ступени; тогда Z3 = 165,6/(165,6-29,3)≈1,215; Vx3 ≈823м/с при I=4227м/с (отношение компонентов 4,5:1)

После этих операций оставшаяся масса комплекса ~136,3 тонны является искусственным спутником Земли. Это удобно тем, что нам заранее известен конечный результат: Vк ≈7790 м/с. Именно такова скорость спутника на круговой орбите высотой ~190км. Условием выведения спутника на круговую орбиту есть достижение указанной скорости на высоте 190км при нулевом угле тангажа.

Прибавку скорости из-за вращения Земли будем считать Vземл≈465*cos(φ)*sin(A) где А-азимут пуска и φ - широта старта (465м/с - линейная скорость точки на экваторе), то тогда при типичных значениях А=72º и φ=28,3º имеем Vземл≈390м/с. 

Итак, будем считать (грубо) прибавку за счет вращения Земли 390 м/с. Отсюда можем прикинуть величину действительных потерь скорости Х на участке выведения ИСЗ: 3753+4668+820-Х+390=7790м/с. Тогда Х=1844м/с. Обобщая разброс параметров, можно показать, что для ракеты Сатурн-5 допустимо принять стандарт потерь первой фазы полета Х≈1850±50м/сек

Масса объекта перед вторым включением третей ступени = 134,9 тонн. Эта масса стала меньше на примерно ~1,2т главным образом за счет утечки водорода через дренаж; остаток топлива по факту = 71,9 тонн, тогда Z4 =134,9/(134,9-71,9)≈2,141; теоретический размер импульса Vx≈3218м/с при I =4227м/с. Как видим, ракета Сатурн-5 располагает запасом полной характеристической скорости Vx≈12460м/с.

Согласно данных НАСА, все отправляющиеся к Луне корабли имели скорость в конце орбитального разгонного импульса ~10840м/сек. Это значит, что полные совокупные потери, с учетом потерь на второй импульс с промежуточной орбиты ожидания, составляют Хп≈2000±50м/сек. Из них ~1850м/с мы потеряли на вывод на промежуточную орбиту ИСЗ. Так что потери второй фазы полета ~150м/с. 

Итоговая масса полезной нагрузки 46,6 тонн, включая переходник=1,17т.; масса вместе с последней ступенью равна ~63,0 тонн. Масса последней ступени, включая недобор топлива 16,4т; чистая масса корабля Аполлон ~44,5т.  Именно такой груз далее следует по высокоэллиптической орбите к Луне. 

Хронология запусков Сатурн-V. Их было всего 13 в период 1967-73гг.

Ура, товарищи! Тем, кто уже уснул – очнитесь. Выше был приведен полный расклад, и все цифры, как говорится, сошлись до копейки. Короче мы героически отправили к Луне потребные 44,5 тонн по нашей методике. Это и есть тот самый эталонный расчет эталонного носителя вместе с эталонным кораблем, который к месту и не к месту с искажениями и интерпретациями  гуляет по разным источникам.

Для чего был нужен такой нудный экскурс в высшую математику - вы узнаете в следующем посте.

http://www.free-inform.narod.ru/pepelaz/pepelaz-3.htm