В дебрях геометрических вопросов

"Постулат параллельности Евклида, в его современной формулировке, утверждает, что если на плоскости есть линия и точка не на этой линии, через эту точку можно провести только одну линию, параллельную исходной. 

Джероламо Саккери (Gerolamo Saccheri, 1667-1733) блестяще попытался доказать это при помощи аргументации типа доведения до   абсурда   (т.е.   от   противного).   Есть   два   пути   для   противоречия   постулату:   

1)    в пространстве нет параллельных   линий (прямые линии  на плоскости обязательно встретятся, если их продлить достаточно далеко);  

2) если несколько прямых через данную   точку,   параллельных   исходной   прямой в   плоскости. 

Саккери получил   убедительное   доказательство   от противного   для   первого варианта путем невинного предположения того, что прямые линии бесконечны.  

Позднее Дэвид Гильберт (1862-1953)   покажет, что такое же доказательство сведения получится, если предположить, что среди трех точек на прямой линии только одна может быть между двумя   другими.   

Во   втором случае,   тем не менее, Саккери не смог получить хорошего доказательства. А там использовалась аксиома точно такого типа, как те, с которыми удалось построить  первые неевклидовы геометрии Больяи (1802-1860) и Лобачевскому (1792-1856).  

Если под плоской поверхностью мы понимаем плоскость из прямых линий, как понимал Евклид, то настоящие неевклидовы многообразия (т.е. области, объемы, пространство- время, и т.д.), чтобы действительно противоречить Евклиду, который говорил о прямых линиях, должны быть плоскими. Они не могут быть искривлены. Прямые линии должны быть и   прямыми по   Евклиду,   и удовлетворять   свойствам,   заданным неевклидовыми аксиомами.  Тем не менее, начиная с Римана (1826-1866), про неевклидовы многообразия говорится, что они «кривые», и только евклидово пространство называется «плоским».

Из противоречия №1 получается «положительно» искривленное пространство («сферическая» или «эллиптическая» геометрия, впервые описанная самим Риманом), а из противоречия №2 – «отрицательно» искривленное пространство («гиперболическую», или Лобачевского, геометрию).   Для Евклида, это, кажется, несомненно, доказывало бы его позицию: постулат параллельности – о прямых линиях, так что использование кривых вряд ли даст честную неевклидову геометрию.

 «Кривизна» в этом отношении, тем не менее,   используется   в   необычном   смысле.   «Внутренняя»   кривизна   отделяется   от «внешней» кривизны. Пространство может иметь «внутреннюю» кривизну, но   все же содержать   линии   («геодезические»),   которые будут   прямыми согласно   любой форме измерения, внутренней для этого пространства.   Геодезическая «пряма» относительно ее собственного многообразия. Евклидова прямота, таким образом, характеризует геодезию 3-х мерного пространства без внутренней кривизны, и то, что мы называем евклидовы геодезические прямыми, - всего лишь следствие общего соглашения.  

То,   что   «кривизна» могла бы значить для Евклида, - это теперь «внешняя» кривизна: чтобы линия или плоскость была «крива», она должна занимать пространство   более высокой размерности, т.е.   кривой линии нужна плоскость, кривой плоскости – объем, кривому объему – 4-е измерение, и т.д. К «внутренней» кривизне более высокая размерность не имеет никакого отношения.   

Но как это произошло? Почему «кривизна»   смогла получить это необычное значение? Зачем нам запутывать себя, говоря, что «внутренние» прямые линии, геодезические, в неевклидовых пространствах имеют кривизну?  

Это произошло потому, что неевклидовы плоскости можно смоделировать как внешне искривленные поверхности в евклидовом пространстве.   Так, поверхность сферы – это классическая модель двумерной положительно искривленной Римановой поверхности; но в то время как большие круги – это, согласно внутренним свойствам этой поверхности, - прямые линии (геодезические), в нашем представлении эта поверхность сама искривлена по третьему измерению евклидова пространства.

С учетом того, сфера является таким хорошим представлением неевклидовой поверхности, и сферическая тригонометрия была хорошо развита в то время, сейчас кажется несколько удивительным, что она не стала основой первой из созданных неевклидовых геометрий.   Однако, как замечено,   такая геометрия не противоречит   другим аксиомам, которые можно   легко положить в основу геометрии. А признание положительно искривленных поверхностей означает, что эти аксиомы должны быть отвергнуты.  

Также, что более важно, такие модели не всегда можно успешно реализовать в евклидовом пространстве.  Самая большая проблема – с пространством Лобачевского. Поверхность в форме седла – это пространство Лобачевского в центре седла, но настоящее пространство Лобачевского не имеет центра. Другие модели Лобачевского искажают формы и размеры. Не существует представления (вложения) пространства Лобачевского, которое бы сразу все преимущества сферы: не иметь   центра,   сингулярностей   (т.е.   точек,   которые   не   принадлежат пространству)   и позволять перемещать фигуры с места на место без искажения   формы или размера. 

Трехмерные неевклидовы пространства, конечно же, вообще   нельзя моделировать,   используя евклидово пространство.   Это   поднимает   два вопроса:  

1) что мы можем пространственно визуализировать?   (вопрос психологии)    

2)   что может   существовать   на самом   деле   (вопрос онтологии).  

Мы не можем представить   себе настоящее   пространство Лобачевского,   да   и вообще   любое неевклидово пространство,   имеющее более двух   измерений,   и никакие   другие пространства,   имеющие более   трех   измерений. Притом   мы   можем представить положительно искривленную поверхность, только если она с внешней кривизной вложена в некий объем. «Кривизна», таким образом, была естественным понятием для внутренних свойств потому, что для всех моделей, которые можно визуализировать, имеется внешняя кривизна.    

Откуда такие ограничения на то,   что мы можем себе представить? Сейчас принято считать, что компьютерная графика освобождает от этих ограничений, но все это относится лишь к проекциям неевклидовой или многомерной геометрии на двумерный экран компьютера. Такие проекции можно было с огромными усилиями делать и задолго до компьютеров; но из этого никогда не получалось, да и не может получиться ничего больше,   чем   просто   плоские евклидовы рисунки   кривых.   

Ожидание   того,   что   такая графика может изменить наш разум так, что мы начнем видеть вещи по-другому, - это не более чем предсказание, или ожидание, а не факт. Поскольку к пониманию неевклидовой геометрии мы шли почти два века, изменение нашего воображения кажется несколько медлительным, тем не менее компьютеры могут в этом сильно помочь.   Математикам не нужно волноваться по поводу всех этих вопросов визуализации, потому что она не нужна для   аналитических   формул,   которые   описывают пространства.   Формулы   наполняют смыслом неевклидовы геометрии так, как здравый смысл никогда бы не смог. 

Евклидова природа нашего воображения привела Канта к высказыванию о том, что хотя отказ от аксиом Евклида можно принять без противоречий, наша интуиция ограничена формой пространства, которую наш мозг налагает на мир. Хотя было бы достаточно естественно   возразить,   что   само   существование неевклидовой геометрии опровергает теорию   Канта,   такая   точка   зрения   не   учла   бы значение   термина   «синтетический», заключающееся   в   том,   что   синтетическое   утверждение   может быть   отвергнуто   без противоречий.    

Леонард   Нельсон   осознал,   что   Кантовская   теория   подразумевает предсказание   неевклидовой   геометрии,   а   не   ее   отвержение,   и   что   существование неевклидовой геометрии подтверждает заявление Канта о том, что аксиомы геометрии синтетические. Для теории Канта разумность неевклидовой геометрии – это   ни   онтологический,   ни   психологический   вопрос,   а   просто   вопрос   логики   – использование критерия возможности Юма для логически согласованной постижимости.   

Если заявление Канта «непонятно», то почему на протяжении истории вплоть до XIX-го века все верили, что постулат о параллельности истинен? Это психологический вопрос, не логический или онтологический. Ощущение этой средневековой уверенности можно увидеть в любое время   и   сегодня,   просто   пытаясь   объяснить   неевклидову   геометрию   студентам- выпускникам, которые никогда раньше о ней не слышали.  

Мы могли бы сказать, что попытки доказать постулат показывают, что он беспокоил людей; но все подозревали, что постулат на самом деле   теорема,   и никто   не обратил   свое беспокойство   в попытку построить геометрию с отрицанием постулата. Саккери отвергал его, но только потому, что он конструировал доказательства от противного. Неевклидова геометрия не изменила наше пространственное воображение, она только доказала,   то,   что   Кант уже неявно высказал: синтетический и   аксиоматически независимый характер   первых   принципов геометрии.  

Может быть, Кант прав и мы никогда не сможем вообразить, как выглядит пространство Лобачевского или многомерные неевклидовы пространства, или промоделировать их без внешней кривизны, насколько хорошо бы мы не понимали аналитические уравнения. Это в   чистом   виде   вопрос   психологии,   и   совсем   не   логики,   математики,   физики   или онтологии. Математики могут спокойно игнорировать ограничения нашего воображения, хотя они при этом рискуют так далеко уйти от здравого смысла, что передовые рубежи математики ни коим образом не будут доступны даже в целом много знающим. Более того, поскольку Кант верил, что пространство – это форма, навязанная миру нашим воображением, он не верил, что   пространство   существует   отдельно   от   нашего   опыта.    

Это   приводит   нас   к онтологическому   вопросу:   что   может   существовать   на   самом   деле?   Неевклидова геометрия была не более чем математическим курьезом до тех пор, пока Эйнштейн не применил ее к физике. Теперь проблема, кажется, стала существенно глубже и сложнее, чем в дни Канта или Римана.   Если наше воображение неизбежно евклидово, жестко прошитое в мозг, если проводить аналогию с компьютерами, но Эйнштейн придумал, как применить неевклидову геометрию к миру, то мы могли бы считать, что пространство действительно реально и имеет реальную структуру в мире вне зависимости от того, можем ли мы визуально его себе представить.  

В свете различий между внутренней и внешней кривизнами, мы должны рассмотреть все возможные виды онтологических аксиом, которые покроют все возможные пространства, которые   могут   быть   описаны   евклидовой   и   неевклидовой   геометрией.   Если   бы ограничения, накладываемые нашим воображением, показывали нам свойства реального пространства,   то   мы   должны   были   бы   сказать,   что   внутренняя   кривизна,   хотя   и независима аналитически от внешней, может существовать только   вместе с внешней кривизной, и, таким образом, с вложением в более высокие измерения.   Это можно назвать аксиомой ортокривизны,   согласно   которой   не   было   бы   настоящей   неевклидовой геометрии, поскольку неевклидова геодезия обязательно бы имела внешнюю кривизну и тогда никогда бы не было действительно прямых линий, для которых нам нужна «ex hypothese», противоречащая Евклиду. Геометрия поверхности сферы использовала бы, таким образом, ортокривизну, потому что внутренние прямые, большие круги, должны быть одновременно визуализироваться и пониматься как кривые линии в трехмерном евклидовом   пространстве.    

С   другой   стороны,   может   быть,   что   внутренне   кривые пространства могут существовать в реальности без внешней кривизны, и, таким образом, не   будучи   вложенными   в   большую   размерность.   Это   можно   назвать   аксиомой гетерокривизны,   которая сделала бы   настоящую   неевклидову   геометрию   возможной, поскольку линии с неевклидовыми отношениями между собой были бы прямыми в общем понимании этого понятия по Евклиду или Канту.  

Можно провести дальнейшее онтологическое разделение. В предположении, что аксиома ортокривизны верна, возможна функционально неевклидова   геометрия, если есть более высокая размерность, разрешающая наличие внешней кривизны, существует, но скрыта от нас. Тогда нам надо решать, существуют ли только три измерения в нашем пространстве, или могут быть дополнительные измерения, которые мы почему-то не чувствуем, но которые могут индуцировать внутреннюю кривизну, внешние свойства которой не могут быть визуализированы или образно   рассмотрены нами.    

Таким   образом,   нам   следует различать   аксиомы закрытой   ортокривизны,   утверждающая,   что   трехмерное пространство – это все, что есть, и открытой ортокривизны, согласно которой более высокие размерности могут существовать. Это дает нам три варианта:  

1) с аксиомой закрытой ортокривизны, нет настоящих неевклидовых геометрий (и нет   больше   трех   пространственных   измерений),   есть только   псевдогеометрии, состоящие из кривых в евклидовом пространстве;  

2) с   аксиомой   открытой ортокривизны,   не существует настоящих   неевклидовых геометрий,   но   мы,   возможно,   имеем   дело   с   функционально   неевклидовой геометрией, внешняя кривизна которой спрятана от нас измерениями (более трех знакомых   нам   пространственных   измерений),   не   видными   нам,   –   а   это   уже очевидная гетерокривизна;  

3) ну и с аксиомой гетерокривизны,   бывают настоящие неевклидовы геометрии, внутренние свойства которых онтологически   не подразумевают более высокие размерности (не важно, более трех пространственных измерений существует, или нет)".  

Келли Л. Росс