---

Развлечения
города

Знакомства

www.IKEA-CLUB.ru

Томсктурист + ИКЕА-КЛУБ = БЕСПЛАТНЫЕ экскурсии в ИКЕА!
Подробнее

И всё-таки она доказана!

atlakatl | 29 апреля 2010 г. |

Интересно | 1513 просмотров | (8 баллов) ?

В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.

А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ. И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».

Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.

Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…

В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.

Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.

В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.

Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…

Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:

Уважаемый(ая) . . . . . . . .
Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке ... . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау

В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000. В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.

В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы – геометрические объекты, а эллиптические уравнения – алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи. Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник – модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы–Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.

В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы–Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.

В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.

Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы–Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы–Симуры. В июне 1993 года Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.

Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение. Быстро разрешить этот вопрос автору не удалось. И только в октябре 1994 года Уайлс предоставил исправленный вариант доказательства.

«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?

На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи общим объёмом в 130 страниц были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».

Источник: Саймон Сингх «Великая теорема Ферма»

Смотрите также:

математика наука

{Оставить комментарий}

zero 29 апреля 2010 г. 11:11 #
РЕПЛИКА ОТ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
Великая Теорема Ферма – это пример некорректной постановки задачи и в
общем виде теорема не доказуема. Последние триста лет математики
решали уравнение для показателей степени п – простых чисел!!!
ПОСТУЛАТ «Только для уравнения Х в степени 2 + У в степени 2 = Z в
степени 2 при степени п=2 возможно найти такие положительные целые
числа Х, У, Z и Х не равен У не равен Z, что Х в степени 2 +У в степени 2
= Z в степени 2»
Пифагоровы числа – это конкретный случай при степени п=2.
Пьер де Ферма был юристом и увлекался математикой. Настоящий математик
сформулирует ПОСТУЛАТ, а не Великую (Последнюю) Теорему …!!!
Этот пример показывает что, если не специалист ставит задачу, то
специалисту приходится отвечать за решение.

{Ответить}

Vision 29 апреля 2010 г. 11:37 #
Читал эту книгу.
Написана увлекательно и со знанием дела.
Детектив от математики.
{Ответить}

Caracupa 29 апреля 2010 г. 11:52 #
есть вероятность, что Ферма пришло в голову весьма красивое и гениальное доказательство, но математики тех лет слишком вольно обращались с математическими объектами (в частности, с бесконечными объектами), поэтому его гениальная догадка могла оказаться ошибочна.... если принимать во внимание хорошую интуицию и понимание предмета величайших математиков тех лет, вполне возможно, что доказательство Ферма было верно :)
{Ответить}

Caracupa 29 апреля 2010 г. 11:52 #
доказательство на 130 страниц - жесть :) не есть гениальное творение :)
{Ответить}

kovivi 29 апреля 2010 г. 12:11 #
Вот жеж алчность людей до чего довела - триста лет бегают доказывая эту теорему ради бабла)
А какой от нее практический или хотя бы научный толк? :)
{Ответить}

diXi 29 апреля 2010 г. 12:32 #
Эту теорему доказали не ради бабла...
К твоему сведению доказательство этой теоремы Фрема следует из доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры. Собсвтенно, Уайлз доказал как раз эту гипотезу, а не саму теорему непосредествнно. Ну а вклад гипотезы Таниямы-Шимуры в математику весьма значителен. Пошукай в интеренете, может чего и найдешь.
{Ответить}

vestran 29 апреля 2010 г. 12:35 #
Это отнюдь не алчность. Сам не раз пробовал доказать эту теорему ещё в школе по детски, по дилетански и не знал что за её доказательство назначена премия. И до сих пор испытываю некий "зуд" при упоминании этой гипотезы. Уж больно просто она формулируется, что понятна даже ребёнку, хочется верить, что есть такое же простое и красивое её доказательство.
{Ответить}

zixel515 29 апреля 2010 г. 12:47 #
не факт что Ферма правильно доказал свою теорему, поставить задачу и разрешить ее - вещи разного порядка
{Ответить}

kovivi 29 апреля 2010 г. 13:31 #
Про гипотезу Таниямы-Шимуры речи нет - научная тема... мощная...
А вот вклад теоремы Ферма в науку и тем более в практику каой если за нее такие призовые назначали...
Короче реклама двигатель прогресса)
{Ответить}

atlakatl 29 апреля 2010 г. 14:31 #
Где в компьютере хранятся созданные нами же пароли? Куда их спрятать, чтобы не нашли хакеры? А их и не прячут. Программа шифрует пароль, затем старательно затирает исходные данные. Остаётся только, скажем, 200-значное число. Теперь при вводе пароля программа также шифрует его и сравнивает старое и новое 200-значные числа. Если они равны, пароль введён правильно. Чтобы найти пароль, надо найти разложение 200-значного числа на два простых сомножителя. На ПК можно за несколько минут выяснить, что 6 050 449 815 822 520 разлагается на 67167767 и 90079663. А вот на 200-значное число надо затратить годы. Методов разложения кроме прямого перебора нет. Специалисты по теории чисел используют все результаты в этой области математики. Часто их работы строго засекречены (шифрование-дешифровка, например). Так что, вполне возможно, что и теорема (теперь уж точно ТЕОРЕМА) Ферма даст им новые возможности и пути дальнейших исследований.
Если в школе-ВУЗе мы учим физику уровня 50-ых годов XX века, то математику – уровня Ньютона и Лейбница. Современный математик просто не в состоянии популярно объяснить, зачем ему нужен тот или иной результат.
{Ответить}

123 29 апреля 2010 г. 14:43 #
Как математик знакомый с криптографией могу сказать: теория чисел давшая начало криптографии появилась как наука ради науки, и весомый вклад дала теорема ферма.
А вот в современной криптографии многие теоремы начинаются такими словами: "Если верна гипотеза Римана"
В общем ещё одна нерешённая математическая задача. Правда формулируется она сильно сложнее.
{Ответить}

Ovis 30 апреля 2010 г. 19:56 #
Один хороший учёный сказал: Если физик не может объяснить уборщице в своей лаборатории чем он занимается, он сам не знает,м чем он занимается.
{Ответить}

123 29 апреля 2010 г. 14:39 #
Вообще то, вклад очень и очень ощутимый. Во-первых мощное развитие теории чисел, целые разделы математики появились в результате изучения этой гипотезы. Во-вторых популяризация математики, многие ещё в школе пытались решить её, и у некоторых любовь к математике осталась на всю жизнь.
Например доказано существование проблем которые нельзя ни доказать ни опровергнуть. Только статистические исследования. Долгое время считалось что такой проблемой является великая теорема ферма, сейчас её место заняла гипотеза Римана.
Ну и на десерт короткометражный фильм. Можно сказать мистический триллер с гениальными учёными и нечистой силой.
http://tomsk.fm/watch/47580
{Ответить}