Я всегда считал, что при обучении детей нужно не заставлять их «зубрить» материал, а развивать мышление. Если вы с этим согласны, возможно вам будет интересно, что в древней Индии считалось необходимым знать на память таблицу умножения не 10 х 10, как принято в настоящее время у нас, а лишь 5 х 5. Остальные значения можно легко посчитать в уме, используя метод «крест накрест», изложенный в индийских Ведах.

 

Пример 1. Допустим, мы знаем таблицу умножения до 5, и нужно умножить 7 на 8. Под каждым из чисел напишем дополнение до десяти (т.е. сколько не хватает до 10, или остаток от деления на 10). Числу 7 до десяти не хватает 3, числу 8 не хватает 2. Соединяем числа крест накрест.

Теперь нужно выбрать любой из множителей (7 или 8), и вычесть противоположное число (по линии креста). Допустим, выбрали 7.



Противоположное число: 2. Вычитаем: 7-2=5, это первая цифра ответа. Вторая цифра равна произведению остатков: 3x2 = 6. Ответ: 56.

 

Если выбрали число 8:

8 соединено линией креста с тройкой. 8-3=5. Как видите, результат получился тем же самым. Это работает для всех примеров, поэтому всегда выбираем одну линию креста - какая больше нравится. Знак умножения - «крестик» пошёл именно отсюда.

 

Решая такие задачки, ребёнок со временем запомнит всю таблицу умножения, но процесс запоминания будет интереснее, да и полезнее.

 

Пример 2. Однако, этот же метод работает и для двухзначных чисел. Умножим 94 на 97. Только дополнения нужно взять не до 10, а до 100. (100-94=6; 100-97=3):

Эту операцию можно выполнить в уме за несколько секунд. Впечатляет, не правда ли?

Пример 3, 93x99:

Обратите внимание, что при перемножении двухзначных чисел произведение остатков (7x1) даёт две цифры (два младших разряда) в ответе. Если получается однозначное число, как в нашем примере, добавляем вторую цифру — ноль.

 

Пример 4, 75x94:

Если при перемножении остатков получается трёхзначное число (25x6=150), выполняем сложение в столбик.

 

Пример 5. Кросс-умножение работает и в случае, если множитель больше 100 (числа основания):

Остаток для множителя 108 будет со знаком минус (-8). Соответственно, произведение остатков даст -32 (4 x -8 = -32). Производим вычитание в столбик.

 

Пример 6. Когда оба множителя больше основания (больше ста):




Остатки отрицательные (-3; -5). Вычитаем из одного множителя остаток для другого:

105 - (-3) = 105 + 3 = 108, старшие цифры (старшие разряды) ответа готовы. Произведение отрицательных остатков даёт положительное число 15. Дописываем 2 младших разряда. Всё.

Пример 7. Трёхзначные числа — всё то же самое, только основание = 1000.

 

Пример 8. Умножение двухзначного числа на трёхзначное чуточку сложнее. Числа имеют разные основания: 100 и 1000. Для начала нужно определить, во сколько раз одно основание больше другого (1000 больше 100 в 10 раз). Теперь нужно выбрать, какой из множителей больше нравится, это повлияет на алгоритм действий. Например, выбрали 988 (число с большим основанием):



Умножаем противоположный остаток (12) на 10 (это число мы получили выше). Результат (120) вычитаем из 988. Старшая часть готова. Младшую находим как обычно — произведение остатков. (12x12=144, трёхзначное число, поэтому складываем в столбик, как в примере 4).

 

Если «понравился» другой множитель, 88. Это число с меньшим основанием, поэтому само это число умножаем на 10 (10x88=880), и вычитаем остаток противоположенного (12):

Пример 9. Основание может быть равным не только 10, 100, 1000 и т.д., но и 50, 500, 5000...

В таком случае сначала вычитаем из множителя остаток другого (как обычно), а затем делим результат пополам: (35-3)/2 = 16, старшая часть ответа готова, младшая - по той же схеме, что и всегда.

Пример 10. 42x43. Также выбираем основание 50 (т.к. множители близки к 50).

Действуем, как в прошлом примере. (43-8)/2 = 17.5, получилось дробное число. Дробная часть «уходит» в более младший разряд, складываем столбиком.

 

Напоследок пара примеров «полный фарш».

Пример 11:

Пример 12:



Красивый метод, не так ли? Однако, можно заметить: чем больше числа отличаются от оснований, тем сложнее считать. Например числа 69 и 77 значительно отличаются и от 100, и от 50. Перемножать эти числа методом «крест на крест» нет смысла, проще будет применить известное из школы умножение в столбик. Но зато, в Ведах описан и другой метод умножения «Вертикально и крест на крест» - он менее эффектный, но подходит для любых чисел, и всё равно удобнее умножения «в столбик». О нём я расскажу в другой раз.

 

P.S. Многим данный метод кажется волшебством. Но с точки зрения математики ничего необычного здесь нет, в основе метода лежит тождество (x - a) (x - b) = x (x - a - b) + ab.

Удивительно другое: откуда это знали составители индийских Вед, которые были написаны за много веков до Пифагора и Евклида?

 

[Датировка Вед, официально признанная наукой: с XVI века до н.э.

Альтернативная версия (Бал Гангадхар Тилак) - примерно за 4500 лет до н.э. (астрономический анализ картины неба, которую воспроизводят Веды).

Большинство учёных сходятся на том, что до того, как Веды были записаны, в течение многих веков существовала устная традиция их передачи].